部分環の定義

ここではまず部分環の定義を行い, より簡潔な必要十分条件を示す. そして部分環の共通部分, 和集合が部分環となる条件について触れる.

定義 1 (部分環) が環の部分環(subring)であるとは, の部分集合がの演算によって環をなす, すなわちにおける和と積のにおける制限によってが環となることである.

をの部分環とするとき, アーベル群はの部分群である. よって部分群の基本的性質からの加法単位元はの加法単位元と一致し, の加法逆元もの加法逆元と一致することが従う. 一方, 単位的環の部分環は単位的環とは限らず, が乗法単位元を持っていても, それがの乗法単位元と一致するとは限らない.

一般的に単位的環の部分環と言えば, はの演算で単位的環でありであるもの, したがってがの乗法単位元であるものを指すことが多い. このような部分環を明示的に区別するために, 単位的部分環のように書くことにする.

部分環であることの同値な条件

命題 2 環の部分集合がの部分環である必要十分条件は, 以下の条件が成り立つことである.

  1. は空集合でない.

  2. .

  3. .

証明.

がの部分環であれば, 1. 2. 3. は成り立つ. 逆に1. 2. 3. が成り立つとき, [部分群の定義:命題5]より1. 2.からはの部分群である. さらに3. よりは積について閉じているからはの部分環である. ◻

部分環の共通部分と和集合

以下では部分環の集合としての演算が部分環となる条件について考える.

命題 3 (部分環の共通部分は部分環) をの部分環の族とする. このときこれらの共通部分はの部分環である.

証明.

とすると, 各はの部分環なので任意のに対しておよびである. したがってとなり, 命題1.4.2よりはの部分環である. ◻

特に各に対してがの単位的部分環であるならばであり, はの単位的部分環である.

命題 4 (部分環の和集合が部分環になる必要十分条件) をの部分環とする. このとき次が成り立つ.

がの部分環または
証明.

のとき, のときよりがの部分環になることは直ちに従う. 次にがの部分環であると仮定する. 背理法で示す. かつとすると, あるでとなるものが存在する. なので, 部分環は加法について閉じていることからである. しかしとすると, は加法群であるからとなり矛盾. 同様にとすると, となり矛盾. 以上よりまたはである. ◻