単位的環の単位的部分環

以下は単位的環の単位的部分環の例である.

例 1 (有理整数環の単位的部分環) 単位的環の単位的部分環がを満たすとする. このときが加法で閉じていることからが従う.

例 2 (多項式環の単位的部分環) を単位的可換環とする. は多項式環の単位的部分環である.

例 3 (多項式環の単位的部分環) を単位的可換環とする. は多項式環の単位的部分環である. は次の項を持たない多項式全体の集合になっている.

例 4 (ガウス整数環) 複素数体の部分集合として, ガウス整数環

はの単位的部分環である. さらにはを部分環として持つ.

例 5 (上三角行列環, 下三角行列環の単位的部分環) 単位的環上の次全行列環の部分集合

はの単位的部分環である. これを次上三角行列環という. 同様にの部分集合

はの単位的部分環である. これを次下三角行列環という.

単位的環の単位的でない部分環

以下は単位的環の部分環でとなる例である.

例 6 はの部分環である. は単位元を持つが, は単位元を持たない.

例 7 (単位元が一致しない例) 体上の次全行列環の部分集合

はの部分環である. は単位行列を乗法単位元に持つが, は

を乗法単位元に持つ. これはの乗法単位元とは異なる.

単位的でない環の単位的部分環

以下は単位的でない環の部分環では単位的環となる例である.

例 8 乗法単位元を持たない直積環の部分集合

はの部分環である. は乗法単位元を持つ.

単位的でない環の単位的でない部分環

以下は単位的でない環の部分環でも単位的環でない例である.

例 9 はの部分環である. もも乗法単位元を持たない.