環準同型写像の定義

定義 1 (環準同型写像) を環とする. 写像が次の条件を満たすときからへの環準同型写像(ring homomorphism)という.

特に環から自身への環準同型写像はの自己準同型写像(endomorphism)という. からへの環準同型写像全体の集合をやと表し, の自己準同型写像全体の集合をやで表す.

上の定義では演算を区別するために, などとしているが, 写像の始域と終域に従えば誤解のおそれはないので, 基本的に演算は省略する. なお, 環準同型は加法群からへの群準同型写像でもあるため, 群論の一般論からおよびが直ちに従う.

定義 2 (単位的環準同型写像) を単位的環とする. 環準同型写像が単位元を保存する, すなわち

を満たすとき, をからへの単位的環準同型写像(unital ring homomorphism)という.

一般に単位的環においては乗法の逆元が存在しないので, やのみからを導くことはできない.

例 3 (恒等写像は準同型) 環の恒等写像は環準同型写像である.

反準同型写像

定義 4 (反準同型写像) 環からへの写像が加法と単位元を保存し, かつ乗法に関して次の条件を満たすとき, 反準同型写像(antihomomorphism)という.

可換環においては乗法の交換法則が成り立つため, 準同型写像と反準同型写像の区別はない. 反準同型写像はは, 環の乗法の順序を逆にした環に関する準同型写像とみることができる.

定義 5 (反対環) 環に対して, 集合に加法をそのままに, 乗法を次のように定義した環を環の反対環(opposite ring)という.

反対環は元の環と同一の加法構造および乗法単位元を持つ. 可換環においてはである. また, 環はと乗法の順番が一致するのでに等しい.

反準同型写像の定義は, からへの準同型写像であること, あるいはからへの準同型写像であると言い換えることができる.

命題 6 (準同型写像と反準同型写像の合成の性質)

証明.

が成り立つのでも環準同型写像である.

◻

定義 7 (同型写像) 写像が以下の条件を満たすときをからへの環同型写像(ring isomorphism)という.

環同型写像が存在するときとは同型(isomorphic)であるといい

と表す. 特にであるときからへの同型写像をの自己同型写像(automorphism)という. からへの同型写像全体の集合をや, の自己同型写像全体の集合をやで表す.

準同型写像が同型写像であるとは, の逆写像が存在してそれも準同型写像であることである. ここで, 環の定義から逆写像が準同型であるという条件は省くことができる.

命題 8 環準同型写像が同型写像であることは, が全単射であることと同値である.

証明. 同型写像ならば全単射であることは定義から直ちに従う. 逆にが全単射であると仮定する. このとき逆写像が存在する. さらに, は環準同型写像であるから, 任意のに対して

が成り立つのでも環準同型写像である. ◻

命題 9 (同型は同値関係) 環に対して以下が成り立つ.

証明.

◻