環の定義

定義 1 (環) を集合とする. 以下の条件を満たす組を環(ring)という.

  • (二項演算の閉性) 上の閉じた二項演算が定まっている.

  • (結合法則) 次の結合法則が成り立つ.

  • (零元の存在)加法単位元が存在して
  • (加法逆元の存在)上の閉じた単項演算が存在して
  • (加法の可換性)次の加法に関する交換法則が成り立つ.

  • 上の閉じた二項演算が定まっている.

  • (結合法則) 次の結合法則が成り立つ.

乗法は双加法的である. すなわち以下が成り立つ.

  • (左分配法則) 各 に対し, 左乗法写像 は加法群 の準同型である. すなわち
  • (右分配法則) 各 に対し, 右乗法写像 は加法群 の準同型である. すなわち

上の環の定義では乗法の単位元の存在を仮定していない. 乗法の単位元を持つ環, すなわちがモノイドをなすとき単位的環(unital ring)と呼ぶ. 一方, 単位元の存在を仮定しない環を非単位的環(non-unital ring, rng), 擬環(pseudo ring)と呼んで区別することもある.

は零元または加法単位元, は単位元または乗法単位元と呼ばれる. 特にそれらが環におけるものであることを明確にしたい場合はと書く.

環はの組のことであるが, 加法単位元や加法逆元は一意に定まるので省略してと表す. 環は演算との組であるが, 演算が明らかで誤解が生じない場合は単に環と言ったり, 環の乗法の記号を省略してをと書いたりすることもある.

可換環の定義

定義 2 (可換環) 環の定義で, 特にが可換半群であるとき, すなわち乗法の可換性

が成り立つとき, を可換環(commutative ring)という. 可換でない環を非可換環(non-commutative ring)という.

単位元と逆元の一意性

環の定義「は可換群である」および単位的環の定義「はモノイドである」ことから群とモノイドの基本的性質として以下が成り立つ.

命題 3 (単位元, 逆元の一意性) 環において, 加法単位元と, 存在すれば乗法単位元はそれぞれ一意的に定まる. また, 任意のに対して加法逆元は一意的に定まる.

定義から従う基本的な命題

命題 4 (定義から従う基本的な命題) を環とする. 任意のに対し以下が成り立つ.

証明.

  • は加法単位元であるからである. 左分配法則より

となるのでが分かる. 同様には加法単位元であるからである. 右分配法則より

となるのでが分かる.

  • 分配法則より
  1. よりであるからが分かる. 同様にして1. より

なので, が分かる.

    1. を用いることで

であることから分かる.

◻

零環

ただ一つの元からなる集合は, と定めることで環, 特に単位的環になる. このときの加法単位元と乗法単位元はともにである. この環を零環(zero ring)といい, その元は通常で表す.

逆に, 環において加法単位元と乗法単位元が一致しているとき, 任意のは

となるのでが分かる. つまり零環は加法単位元と乗法単位元が一致する唯一の環である.