学校で習う数学は計算が中心ですが、数学そのものは計算の技術ではありません。いくつかの約束（定義）を置き、そこから論理だけを使って何が言えるかを突き止めていく営みです。答えが合っているかどうかより、なぜそう言えるのかが中身になります。
この見方に立つと、一見まったく別の対象が同じ構造を持っていることが見えてきます。整数の足し算、図形の回転、あみだくじの合成は、どれも「群」という同じ枠組みで扱えます。個別の対象ではなく構造を相手にするのが、現代数学のやり方です。
この分野では、まず全体の共通言語である集合論を置き、その上に群・環・加群といった代数的な構造を積み上げていきます。
この分野で扱うもの
- 集合論 — 以降すべての土台になる言葉づかい。集合・写像・関係。
- 群論 — 「対称性」を扱う枠組み。もっとも基本的な代数構造。
- 線形代数 — ベクトル空間と線形写像。応用範囲が非常に広い。
- 環論 — 足し算と掛け算の両方を持つ構造。整数や多項式の一般化。
- 加群論 — ベクトル空間の係数を体から環へ広げたもの。
どこから読むとよいか
集合論から順に読むことを勧めます。他のどの項目も集合論の言葉で書かれているため、ここを飛ばすと定義そのものが読めません。
これから書き足すこと
この記事はまだ入口の説明までです。以下は今後書き足していく予定の項目です。
- 証明の読み方・書き方
- 同型という考え方
- 位相・解析への入口
- 各分野が生まれた背景