線形空間の定義

体 （例えば実数体 ）上の線形空間（ベクトル空間）とは、集合 に加法 とスカラー倍 が定義されていて、次を満たすものです。

  1. はアーベル群である（零ベクトル をもつ）

基本例

  • 数ベクトル空間
  • 実数係数の多項式全体
  • 区間 上の連続関数全体

いずれも「足せて、スカラー倍できて、公理を満たす」ことが確認できます。

部分空間

の空でない部分集合 が加法とスカラー倍で閉じているとき、 を部分空間といいます。

まとめ

線形空間は「線形結合が自由にできる場所」です。次は線形写像に進み、空間の間の構造を保つ対応を学びます。