準同型写像の定義

定義 1 (準同型写像). を群とする. 写像が次の条件を満たすときからへの準同型写像(homomorphism)という.

特に群から自身への準同型写像はの自己準同型写像(endomorphism)という. からへの準同型写像全体の集合を, の自己準同型写像全体の集合をで表す.

上の定義では演算を区別するためにと異なる記号を用いたが, 準同型の始域と終域に従えば誤解のおそれはないので, 基本的に演算は省略する. また, 単に準同型写像と書いたとき, 特に断らなくとも, は群である.

例 2 (恒等写像は準同型). 群の恒等写像は準同型写像である.

準同型写像であることの同値な条件

が準同型写像であるとは, 定義に従えば群の構造(1)積(2)単位元(3)逆元を全て保つことである. ここで群の性質を用いればより簡潔な条件へと省くことができる.

命題 3 (準同型写像であることの同値な条件). 写像が準同型写像であることは以下の条件が成り立つことと同値である.

証明. [準同型写像の定義:定義 1]の下で[準同型写像の定義:命題 3]が成り立つことは定義から従う. よって[準同型写像の定義:命題 3]が成り立つとき[準同型写像の定義:定義 1]の2. 3. が成り立つことを示せばよい. まず単位元に関して

なのでとなる. 次に

が成り立つのでである. ◻

反準同型写像

定義 4 (反準同型写像). 写像が次の条件を満たすときからへの反準同型写像(antihomomorphism)という.

アーベル群では準同型写像, 反準同型写像の区別はない.

反準同型写像は, 演算の順序を逆にした群に関する準同型写像と見ることができる.

定義 5 (反対群). 群に対して, 集合に演算を次のように定義した群を群の反対群(opposite group)という.

反対群は, 群と同じ単位元, 逆元を持つ. また, 結合法則も元の群の結合法則から導かれる. アーベル群ではである. また, 群はと演算の順番が一致するのでに等しい.

反準同型写像の定義は, 群の反対群の定義を用いると次のように書ける.

つまりからへの反準同型写像であることはからへの準同型写像であることと同値である.

同様に, 反準同型写像の定義は, 群の反対群の定義を用いると次のように書ける.

つまりからへの反準同型写像であることはからへの準同型写像と言い換えることもできる.

準同型写像と反準同型写像の合成の性質

命題 6 (準同型写像と反準同型写像の合成の性質).

, を準同型写像とする. このとき合成写像は準同型写像である.
を準同型写像, を反準同型写像とする. このとき合成写像は反準同型写像である.
, が反準同型写像であるとき, 合成写像は準同型写像である.

証明.

合成について任意のに対し

が成り立つのでも準同型写像である.

仮定よりは準同型写像である. 1. より合成写像は準同型写像である. これはが反準同型写像であることを意味する.
仮定より, は準同型写像である. 1. より合成写像は準同型写像である.

◻

例 7 (逆元をとる写像は反準同型). 群において写像をと定めると,

となるのでは反準同型写像である.

例 8. 群からその反対群への写像をで定めるとは反準同型写像である.

生成系における準同型写像の一致

命題 9 (生成系の上で一致する準同型は等しい). を準同型写像とする. またの生成系をとする. 任意のに対してならばである.

証明. はで生成されるので, 任意のは

と表される. は準同型写像であることと上で一致することから

以上よりが成り立つ. ◻

同型写像

定義 10 (同型写像). 写像が以下の条件を満たすときをからへの同型写像(isomorphism)という.

は準同型写像である.
の逆写像が存在する, すなわちは全単射である.
が1. を満たし, 逆写像が準同型写像である.

同型写像が存在するときとは同型(isomorphic)であるといい

と表す. 特にであるときからへの同型写像をの自己同型写像(automorphism)という. からへの同型写像全体の集合を, の自己同型写像全体の集合をで表す.

同型写像であることの同値な条件

準同型写像が同型写像であるとは, の逆写像が存在してそれも準同型であることである. ここで, 群の性質を用いれば後者の条件は省くことができる.

命題 11. 準同型写像が同型写像であることはが全単射であることと同値である.

証明. [準同型写像の定義:定義 10]の下で[準同型写像の定義:命題 11]が成り立つことは定義から従う. [準同型写像の定義:命題 11]が成り立つとき[準同型写像の定義:定義 10]の3. が成り立つこと, つまり準同型写像の逆写像が準同型写像であることを示せばよい. 任意のに対しは準同型なので

である. よって

が成り立つ. つまりは準同型写像である. ◻

補足代数系以外の他の対象における準同型の対応物, すなわちその構造を保つ写像においてこれが成り立つとは限らない. 例えば位相空間における連続写像は逆写像が存在してもそれが連続写像とは限らない. 順序集合における順序を保つ写像は逆写像が存在してもそれが順序を保つ写像とは限らない.

同型は同値関係

命題 12 (同型は同値関係). 群に対して以下が成り立つ.

証明.

恒等写像は全単射なのでである.
とすると全単射準同型写像が存在する. このときも[準同型写像の定義:命題 11]より準同型写像であって全単射であるからである.
とすると2つの全単射準同型写像, が存在する. このとき[準同型写像の定義:命題 6]より合成写像は準同型写像で全単射である. よってである.

◻