線形写像

線形写像の定義

線形空間 の間の写像 が

を満たすとき、 を線形写像といいます。線形写像は必ず を満たします。

核と像

• 核: は の部分空間
• 像: は の部分空間

が単射であることと は同値です。

行列との対応

, のとき、線形写像は 行列 による とちょうど一対一に対応します。基底を選ぶことで、一般の有限次元線形空間の線形写像も行列で表せます。

まとめ

線形写像は群論の準同型写像の線形空間版です。核・像・行列表現は、固有値やジョルダン標準形へ進むための基礎になります。