部分群の定義

ここではまず部分群の定義を行い, より簡潔な必要十分条件を示す. そして部分群の共通部分, 和集合, 積が部分群となる条件について触れる.

部分群の定義

定義 1 (部分群) が群の部分群(subgroup)であるとは, の部分集合がの演算によって群をなす, すなわちにおける演算のにおける制限によってが群となることである. このことをとかく.

命題 2 をの部分群とする. このとき次が成り立つ.

• の単位元はにおける単位元と等しい.

• のにおける逆元は, のにおける逆元と等しい.

証明.

• の単位元を, の単位元をとする. このときが単位元であり, でもあるから

が成り立つ. であるので

である. のにおける逆元を左からかけることで

が得られる.

• のにおける逆元をとするととみて

が成り立つ. についての群の逆元の一意性よりが従う. すなわち, 部分群において逆元を返す写像はにおけるもののにおける制限写像である.

◻

例 3 (自明な部分群) 任意の群に対してはともにの部分群である. これらをの自明な部分群(trivial subgroup)という. 自明でない部分群は真の部分群(proper subgroup)という.

部分群であることの同値な条件

が群の部分群であるとは, 定義に従えば(1)積の閉性(2)結合律(3)単位元の存在(4)逆元の存在の条件が満たされることである. ここでが群の構造の部分であることを用いれば, より簡潔な条件へと省いたり言い換えたりすることができる.

命題 4 (部分群であることの同値な条件) の部分集合がの部分群である必要十分条件は以下の条件が成り立つことである. ただしはにおけるの逆元を表す.

• は空集合でない.

• .

• .

証明. が部分群であるとき1.2.3.が成り立つことは定義から明らかである. 逆に1.2.3.が成り立つときに部分群の[部分群の定義:定義 1]の条件が成り立つことを確認する. まず2.より演算で閉じていることが分かり, 結合法則は任意ので

が成り立っていたから特にとしても成立している. 次に1.よりは空でないのでがとれる. このとき3.よりなので2.を用いれば

でありは任意のに対しよりにおける単位元でもあるので, に単位元が存在することが分かる. さらに任意のに対して逆元がに存在することが3.によりわかるため, はの演算で群をなす. ◻

上の条件はさらにまとめることができ, より簡潔かつ実用的である.

命題 5 (部分群であることの同値な条件) の部分集合がの部分群である必要十分条件は以下の条件が成り立つことである. ただしはにおけるの逆元を表す.

• は空集合でない.

• .

証明. 上の[部分群の定義:命題 5]の2.の条件が成り立つとき[部分群の定義:命題 4]の2.3.の条件が成り立つことを示す. まず1.よりは空集合ではないために対してである. は任意のに対しよりにおける単位元でもあるので, に単位元が存在することが分かる. 次にに対して, が成り立つ. また, に対してなのでである. ◻

命題 6 (部分群であることの同値な条件) をに含まれる群とする. このとき次が成り立つ.

証明. まずがの部分群であると仮定する. とする. このときにおける演算はにおける演算の制限であることからである. 一方なのでが成り立つ. 逆に包含写像が準同型写像であるときである. 右辺はにおける演算で, 左辺はにおける演算かつなのでこれはの演算のによる制限がにおける演算となっているのではの部分群である. ◻

部分群の共通部分と和集合

以下では部分群の集合としての演算が部分群となる条件について考える.

命題 7 (部分群の共通部分は部分群) をの部分群の族とする. このときこれらの共通部分はの部分群である.

証明. 任意のに対しはの部分群なのでである. よってである. またとすると各はの部分群なので任意のに対してである. 同様に任意のに対してなので, [部分群の定義:命題 4]よりはの部分群である. ◻

命題 8 (部分群の和集合が部分群になる必要十分条件) をの部分群とする. このとき次が成り立つ.

証明. のとき, のときよりは部分群であることが直ちに従う. 次にがの部分群であると仮定する. 背理法で示す. かつとすると, あるでとなるものが存在する. なので仮定よりである. しかしとするととなり矛盾. 同様にとするととなり矛盾. 以上よりまたはである. ◻

例 9 の部分群として互いに包含関係のないとをとる. このとき, これらの共通部分はの部分群である. 一方であるから, 和集合はの部分群ではない.

部分群の積

命題 10 (部分群の積) をの部分群とする. このとき次が成り立つ.

証明. が成り立つとする. このとき任意にをとる. 仮定よりとなるが存在して

また, 逆元についてであって, 仮定より. 以上より[部分群の定義:命題 4]よりがの部分群であることが分かる. 逆にがの部分群であるとき, 任意のに対してである. よってあるが存在してと表せるのでつまりが分かる. 逆の包含も同様にわかるのでが示された. ◻