集合の演算

2つ以上の任意の集合に対して、それらから新たな集合を作り出す演算を考える。まずは、構成される集合の元が皆与えられた集合の元である場合を見る。

和集合（合併）

任意の2つの集合に対して、に属する元全てをその元として持ち、それ以外の元を持たない集合が存在する(和集合の公理)。これを和集合（合併、union）と呼び、と表す。すなわち、。

（例） に対して、。

集合の族 に対しても、同様にこれらの和集合が定義され、と表す。すなわち、。有限個の集合からなる集合族に対してはの結合性からなどとも書く。

特に のとき、 を と の非交和（または直和）ともいい、これを と表す。

演算 は以下の性質を持つ。任意の集合 に対し、

が成り立つ。結合性より、の演算は括弧の順序によらず、括弧を外して と書いて良い。

共通部分（交差）

両方に属する元全体からなる集合をとの共通部分（交差、intersection）と呼び、 と表す。すなわち、。

（例） に対し、。

集合の族 に対しても、同様にこれらの共通部分が定義され、と表す。すなわち、。有限個の集合からなる集合族に対してはの結合性からなどとも書く。

（例）。

演算 は以下の性質をもつ。任意の集合 に対し、

が成り立つ。の演算は括弧の順序によらず、括弧を外して と書いて良い。

との分配性

演算 と は分配性をもつ。つまり、任意の集合 に対し、

が成り立つ。

※ より、この括弧を外して と書くことはできない。

（例） のとき、 で、これら2つは等しくない。

差

の元全体からの元であるものを除いた集合、つまりに属しかつに属さない元全体からなる集合をとの差集合と呼び、と表す。すなわち、。

対称差

集合どちらか一方のみに属する元全体からなる集合を と の対称差（symmetric difference）といい、と表す。すなわち、。

補集合

集合とその全体集合に対し、全体集合のうちに属さない元全体の集合をの補集合（complement）と呼び、と表す。すなわち、。、すなわち の補集合は。

（例）全体集合を として、その上の集合 の 補集合 は、 である。

全体集合の部分集合に対し、が成り立つ。より一般に全体集合の部分集合の族に対し、が成り立つ。これをド・モルガンの法則という。

次に、構成される集合の元が、与えられた集合の元そのものではなく、それらから作られる集合である場合を見る。

直積（積集合）

ある集合に属する2つの元に対して、順序付きの対を考える。つまりなる対象を考える。これも集合でなければならないが、具体的にと構成できる(対の公理)。こうして定められた順序付きの対を順序対と呼ぶ。3つ以上の元に対してもと帰納的に定めることで同様の順序付きの組が定義される。これを順序組と呼ぶ。順序対は2つの元に対する順序組である。

集合 が与えられたとき、 の元 と の元 の順序対 全体は集合となる(置換公理)。これを と の直積や直積集合といい、 と表す。すなわち、。 のとき、 を とも書く。

3個以上の集合に関しても同様に、 の元 、 の元 の元 の順序組 全体も集合となる。これを の直積といい、 と表す。すなわち、 。 のとき、これを とも書く。 順序対 に対しその 番目 を、 の第 成分という。 に対しその第 成分 を定める写像 を、第 射影という。

（例）