剰余群の定義

定義 1 (剰余群). を群, をその正規部分群とする. このとき剰余集合上の演算をに対して

で定めることができる(well-defined). この演算による群をのによる剰余群(quotient group)という.

かつとする. するとかつとなる. このとき

であってとはの正規部分群であることよりつまり. よって演算が代表元によらずに定まることが示された.

剰余群の単位元は, の逆元はである. また群の位数は, 指数に等しい.

が正規部分群のときにに自然な演算が定まり群となることを見たが, 逆は成り立つだろうか. つまりに自然な演算が定まり群となるとき, は必ず正規部分群であるだろうか.

命題 2 (剰余群が定まる必要条件). を群, をその部分群とする. 左剰余集合に演算

がwell-definedに定まるときはの正規部分群である.

証明. に対する逆元に関して

となる. ここで任意のをとるとが成り立つ. 演算のwell-defined性より

よって任意のに対してが成り立つのでは正規部分群である. ◻

自然な射影

命題 3 (自然な射影は全射準同型写像). を群, をその正規部分群とする. このとき自然な射影

は全射準同型写像である. 特にである.

証明. 任意のに対して

であるからは準同型写像である. また任意のに対してであるからは全射である.

自然な射影の核について

である. ◻

部分群の対応定理

定理 4 (部分群の対応定理). を群, をその正規部分群とする. また, を自然な射影とする. の部分群全体を, のを含む部分群全体をとするとき二つの写像

は互いに逆写像である.

証明. 準同型写像による像と逆像は部分群になる([準同型写像の像と核:命題 1]). 特にに対して, すなわちがを含むことを示す. 任意のに対してであるからである. よってである.

次にとが互いに逆写像であることを示す. に対して

である. 特には全射であったからである.

またに対して

である. 一般にが成り立つ. 逆にをとると, であるから, あるに対してとなる. よってである. ここでであるからであり, となる. 以上よりである. ◻

さらに部分群の対応定理における対応は包含関係や正規性を保つ. つまり次のことが成り立つ.

命題 5 (部分群の対応における包含関係の保存). を群, をその正規部分群とする. また, をの部分群でを含むものとする. このとき

証明. ならば, 任意のに対してであるからであり, である.

逆にならば, 任意のに対してである. すなわちあるに対してとなる. よってであるからであり, である. ◻

命題 6 (部分群の対応における正規性の保存). を群, をその正規部分群とする. また, をの部分群でを含むものとする. このとき

証明. を自然な射影とする. とする. はが全射であるので, [準同型写像の像と核:命題 1]よりはの正規部分群である.

とする. について, 逆像は正規性を保つ([準同型写像の像と核:命題 1])ことよりはの正規部分群である. ◻