準同型写像の像と核

準同型写像による像と逆像

命題 1 (像, 逆像は部分群). を群からへの群準同型とする. をそれぞれの部分群, をそれぞれの正規部分群とする. このとき以下が成り立つ.

証明. まず準同型写像によって単位元は単位元に移されることよりとが言える. このことからはいずれも空でない.

である. がの部分群なので. よってである. 同様にであって

なのでも成り立つ. よって[部分群の定義:命題 4]よりはの部分群である.

よってである. 同様にであるからも成り立つ. よって[部分群の定義:命題 4]よりはの部分群である.

であってがの正規部分群なので. よってなのではの正規部分群である.

であってであるからがの正規部分群より. よってなのではの正規部分群.

◻

上の結果からが全射の場合ははの正規部分群となることが分かる. しかし一般には必ずしもの正規部分群になるとは限らない. 実際に次の例がある.

補足 2次対称群から3次対称群への準同型写像を

で定める. このときは自身の正規部分群であるがはの正規部分群ではない. 実際,

定義 2 (像, 核). を群からへの群準同型とする. をの単位元として

をそれぞれの核(kernel), 像(image)という.

準同型に対して, はの正規部分群であるから[準同型写像の像と核:命題 1]の2. よりはの正規部分群である. 一方で[準同型写像の像と核:命題 1]の1. 3. および上の補足より, はの部分群であるが正規部分群であるとは限らない.

命題 3 (単射性の言い換え). を群からへの群準同型とする. をの単位元とすると

が 単 射

証明. が単射であると仮定する. とするとの単位元をとしてが成り立つ. は単射なのでが分かる.

次にと仮定する. としてとすると, である. このことからが分かるので, 仮定よりすなわちが分かる. 以上よりは単射である. ◻

命題 4 (生成系の像). を群からへの群準同型とし, をの部分集合とする. このとき次が成り立つ.

証明. であるからが成り立つ. 逆にの任意の元は

と表されるのでも成り立つ. よってが成り立つ. ◻