群の作用と置換表現の定義 | 学習サイト「アトラス」

群の作用の定義

定義 1 (左群作用). 群と集合に対し, 演算が定まっているとする. 次の条件を満たすときはに左から作用する(act on from the left)といい, 演算を左群作用(left group action)という. このことをで表す. また, 左作用はと表記する.

定義 2 (右群作用). 群と集合に対し, 演算が定まっているとする. 次の条件を満たすときはに右から作用する(act on from the right)といい, 演算を右群作用(right group action)という. このことをで表す. また, 右作用はと表記する.

単に群の作用といえば左群作用を指すことが多い. 本記事では群作用を群の演算と区別するためにで表すが, 文献によってはやで表すこともある.

定義 3 (両側群作用). 群, と集合に対し, 次の条件をみたすとき, はに両側から作用する(act on from left and right)という. このことをで表す.

特に両側作用の条件3. よりであるからかっこを省略してと書いてよいことが従う.

Cayleyの定理([対称群:定理 3])より, 任意の群は対称群に埋め込むことができる. これは群を対称群の部分として表現して調べることができるということである. すなわち群から対称群への準同型により, 群の構造の部分や全体は対称群へ写し取られ, 表現される.

定義 4 (群の置換表現). 準同型写像をの上の置換表現(permutation representation)という.

次の命題により, 群の作用と置換表現は一対一に対応することが分かる.

命題 5 (群の作用と置換表現の対応). のへの左作用全体の集合をとおく. このとき, 作用に対して置換表現を対応させる次の写像は全単射である.

ただしである.

証明. 簡単のためにはと表記する. まずがwell-definedであること, つまりであることを示す. は逆写像を持つことが次の式から分かる.

よっては上の全単射であるからである.

また, 任意のに対して

となることからであることが分かる.

次にを次のように定めることができて, の逆写像を与えることを確かめる.

まずが左群作用であることを示す. よりである. また, 任意のに対して

となるからである. すると,

なのでかつである. 以上よりは全単射である. ◻

同様にのへの右作用に対して, 次の反準同型写像([準同型写像の定義:定義 4])を対応させることで一対一対応する.

が反準同型写像であることは次の式から分かる.

反準同型写像は反対群に関する準同型写像とみることもできる. つまり上の右群作用の表現は準同型写像を定めていると考えてもよいので, の右からの作用はの左からの作用とみなせる.

また, とのへの両側からの作用は, 次の準同型写像と一対一対応する.

すなわち, との両側からの作用はの左からの作用とみなせる.

よって群の作用や置換表現は本質的には左群作用を考えれば十分である.

例 6 (自明な作用). を群, を集合とする. 任意のに対してで定めると, これは群作用である. この作用を自明な作用(trivial action)という. 自明な作用の置換表現はの元に対して上の恒等写像を対応させる準同型写像である.