共役作用の定義

定義 1 (共役作用). 群の自身への作用で以下の条件を満たすものを共役作用(conjugation), 随伴作用(adjoint action)という.

  • 一般の群に対しては自明とは限らない作用である.

  • 作用が内の積と逆元をとる演算のみで定まる.

  • 作用が準同型として定まる. つまり任意のに対してが成り立つ.

共役作用の置換表現はで表す.

単に共役作用と言えば左作用のことを指すことが多い. 次の命題により共役作用は一意に定まることが分かる.

命題 2 (共役作用の表示). 群における共役作用はとして次で与えられる作用に限られる.

または

証明. 上の条件で群の作用が左作用になっているものを考える.

2.の条件を満たすとき, であることよりによって

と表される. 作用が準同型として作用するので

が一致する. よってであるが, これが一般の群において成り立つのはに限られる.

次に左作用の定義から

が一致する. つまりであるが, これが一般の群において成り立つのはに限られる. のとき, 得られた群の作用は自明な作用である. のときは非自明な作用になるのでこれが共役作用である. が実際にの自身への左作用であることはと

より分かる. 作用が右作用になっているときも同様の議論なので以下の補足に記す.

補足 上の条件で群の作用が右作用になっているものを考える.

2.の条件を満たすとき, であることよりによって

と表される. 作用が準同型として作用するので

が一致する. よってであるが, これが一般の群において成り立つのはに限られる.

次に右作用の定義から

が一致する. つまりであるが, これが一般の群において成り立つのはに限られる. のとき, 得られた群の作用は自明な作用である. のときは非自明な作用になるのでこれが共役作用である. が実際にの自身への右作用であることはと

より分かる.

◻

アーベル群における共役作用は常に自明な作用になることに注意する.

各に対して定まる自己同型写像はと書き, の定めるの内部自己同型写像(inner automorphism)という.

群の元の共役

定義 3 (群の元の共役). 群の元に対し, により定まる元

をのによる共役(conjugate)という. 群の二つの元が共役であるとは, ある共役作用によって一方をもう一方に移すことができること, すなわちあるが存在して

と表されることである.

命題 4 (共役の性質). を群として, 任意のに対し

が成り立つ.

証明. 共役作用の定義よりただちに従うが, 次の計算により確かめることができる.

このことは共役作用が右作用で準同型として作用することを意味している. ◻

補足 はと表すのに対して, はと表すことがある.

共役集合と共役部分群の定義

群における共役作用によってのべき集合にも作用を定めることができる([群の作用の性質と例:例 4]).

定義 5 (共役集合). 群の部分集合に対し, により定まる部分集合

をのによる共役集合(conjugate set)という. 群の二つの部分集合が共役であるとは, 共役作用によって一方をもう一方に移すことができること, すなわちあるが存在して

と表されることである.

命題 6. を群の部分集合として, 任意のに対し

が成り立つ.

証明. [共役作用:命題 4]を用いて示す. 一つ目の式について次のように確かめることができる.

次に二つ目の式についても次で確かめられる.

◻

命題 7 (共役部分群). を群の部分群とすると, 任意のに対し共役集合もの部分群である. をのによる共役部分群(conjugate subgroup)という.

証明. まずである. 次に任意のに対して, [共役作用:命題 4]により

であり, 仮定よりなのでである. よってはの部分群である. ◻

特に任意の共役作用によって変化しない, すなわちとなるの部分群をの正規部分群という([正規部分群, 剰余群の定義:定義 1]).