加群の準同型写像 | 学習サイト「アトラス」

加群の準同型写像の定義

定義 1 (R準同型写像) を環とする. 左加群に対し写像が準同型写像,線形写像であるとは以下の条件を満たすことである.

同様に, 右加群に対し写像が準同型写像,線形写像であるとは以下の条件を満たすことである.

特に加群から自身への準同型写像はの自己準同型写像といい, やで表す.

準同型写像と言えばが左加群, 右加群かでどちらの準同型写像であるかは明らかなため用語は統一して扱う.

両側加群に対し写像が準同型写像であるとは, 左加群として準同型写像かつ右加群として準同型写像であることである.

また, 右加群に対してが準同型写像であるとは, を左加群と見なしたときの準同型写像であることと同値である. 同様に両側加群に対してが準同型写像であるとは, を左加群と見なしたときの準同型写像であることと同値である.

例 2 (恒等写像) 任意の加群に対して, 恒等写像は準同型写像である.

例 3 (零写像) 任意の加群に対して, 写像は準同型写像である. この準同型写像を零写像といい, 単にで表す.

例 4 (包含写像) 任意の加群の部分加群に対して, 包含写像は準同型写像である.

命題 5 準同型写像, の合成は準同型写像である.

証明. 合成について任意のに対し

が成り立つのでは準同型写像である. ◻

定義 6 (同型写像) を環とし, を左加群とする. 写像が以下の条件を満たすときをからへの同型写像(-isomorphism)という.

同型写像が存在するときとは同型(isomorphic)であるといい

と表す. 特にであるときからへの同型写像をの自己同型写像(automorphism)という.

準同型写像が同型写像であるとは, の逆写像が存在してそれも準同型写像であることである. ここで, 加群の定義から逆写像が準同型であるという条件は省くことができる.

命題 7 準同型写像が同型写像であることは, が全単射であることと同値である.

証明. 同型写像ならば全単射であることは定義から直ちに従う. 逆にが全単射であると仮定する. このとき逆写像が存在する. さらに, は準同型写像であるから, 任意のとに対して

が成り立つのでも準同型写像である. ◻

命題 8 (同型は同値関係) 左加群に対して以下が成り立つ.

証明.

◻