対称群の定義

定義 1 ((一般の)対称群). 集合に対しをからへの全単射全体の集合とすると写像の合成を演算として群となる. これをの対称群(symmetric group)とよぶ.

の元は置換(permutation)とよぶ. 対称群の単位元は上の恒等写像でこれを恒等置換(identity permutation)とよぶ. の逆元はその逆写像である.

命題 2. ならば, と同型なの部分群が存在する.

証明. 仮定より, 単射が存在する. このを一つ固定して, を次のように定める. まずであるとき, が単射なのでとなるがただ一つ存在するのでとする. であるとき, とする. 次の計算によってが準同型写像であることが分かる.

さらにが単射であることを示す. とすると, 任意のに対して

は単射なのでが成り立つ. つまりなのでは単射であることが分かる.

以上よりのによる像はと同型で, の部分群となる. ◻

対称群は元となる集合の濃度によって特徴づけられる.

命題 3. 集合, に対してならばが成り立つ.

証明. 仮定より全単射が存在する. このを一つ固定して, の逆写像を用いて

と定める. 次の計算によってが準同型写像であることが分かる.

さらにが全単射であることを示す. まずとすると

なのでが単射であることがわかる. 任意のに対してであり,

よりは全射であることも分かる. ◻

Cayleyの定理

任意の群は, 十分な大きさの対称群に対して埋め込むことができる.

定理 4 (Cayleyの定理). 群に対して, と同型なの部分群が存在する.

証明. 写像を次で定める.

ここで, は逆写像を持つのでである. 任意のに対して

となるので, は準同型写像である.

が恒等写像になるのはに限られるので, [準同型写像の像と核:命題 3]よりは単射. よってはと同型であって, はの部分群である. ◻

次対称群

定義 5 (次対称群). , としての対称群をと表し次対称群という. を次のように表す.

の恒等置換をで表す.

の位数はで, のとき非アーベル群である. 上の対称群や次対称群はドイツ文字(フラクトゥール)のSを用いてそれぞれと書くこともある.

例 6. 実際の計算例を見てみる. 次対称群において

このとき演算の順番に注意する. 置換は写像なので上の例では右の置換から順に計算する.

巡回置換と互換

定義 7 (巡回置換, 互換). 整数と, 相異なる整数について, 添え字はを法とするものとする. 置換で

となっているものを次のように表す.

このような置換を長さの巡回置換(cyclic permutation)という. 特に, 長さ2の巡回置換を互換(transposition)という.

例 8. 5次対称群において

である. 巡回置換による表示は一意ではなく,

である.

例 9. は互換, 巡回置換の記法を用いて次のように表すことができる.

, の元は上のように全て巡回置換であるが, においての元は一般に巡回置換とは限らない. 実際,

は一つの巡回置換で表されない置換である.

命題 10. 長さの巡回置換について次が成り立つ.

.
の位数はである.

証明. 長さの巡回置換をとおく. はのみを動かす.

をとおいてを示す. 任意のに対して, はとなる巡回置換なので

よってである. 以上よりである.

任意のに対して巡回置換の定義より

なのでである. このときが相異なることから, においてである. すなわちの位数はである.

◻

巡回置換の共役

補題 11 (巡回置換の共役). 巡回置換としたとき任意のに対して

が成り立つ. つまりとその共役は同じ長さの巡回置換である.

証明. とする. 示すべき式の右辺の巡回置換をとして, を示す.

のとき. あるでと表される. すると

となり成り立つ.

のとき. であって

となり成り立つ.

◻