例 1 (自明な部分群). 任意の群に対してはともにの部分群である. これらをの自明な部分群という.

例 2 (特殊線形群, 直交群, 特殊直交群). 体上の次特殊線形群(special linear group)とは

である. これはの部分群になる. また次直交群(orthogonal group)および特殊直交群(special orthogonal group)はそれぞれ次のように定義される. 特に特殊直交群は回転群とも呼ばれる.

例 3 (置換群). 集合の対称群の部分群は置換群(permutation group)という. 例えば集合の部分集合が与えられたとき, その対称群はの部分群である.

例 4 (交代群). 次対称群に対しの偶置換全体をで表す. は位数のの部分群で, これを次交代群(alternating group)という.

例 5 (の部分群). 加法群部分群は, あるを用いてと表される.

証明. をの部分群とする. ならなのでとしておく. の元で正のもののうち最小のものが存在するのでそれををする. 任意のに対してをで割った余りを考えれば

となるが存在する. するとよりであるが, 条件との最小性よりこれを満たすはに限られる. 以上より任意のに対してあるを用いてと書けることが分かったので. ◻

例 6 (の部分群). 乗法群([群の例:例 7])の部分群を考える. 複素平面上の単位円

について, であり, とするとなので, [部分群の定義:命題 5]よりの部分群である.

さらに1の乗根全体の集合をとするとはの部分群となる. 実際であり, とすると

なので[部分群の定義:命題 5]よりはの部分群であることが分かる. とすると

と表され, は位数の有限群であることが分かる.