前順序集合の部分集合から定まる上方集合の一つとして上界集合を定義し、関連する概念やそれらの性質について概観する。
上界集合の定義
定義 1 (上界集合・下界集合). 前順序集合の部分集合について考える。
を上界集合という。がの上界集合の元であるとき、はの上界(upper bound)であるという。
を下界集合という。がの下界集合の元であるとき、はの下界(lower bound)であるという。
命題 2. の上界集合はの各元の主上方集合の共通部分に等しい。
またの下界集合はの各元の主下方集合の共通部分に等しい。
証明. 任意にをとる。このとき定義よりについて、すなわち が成り立つ。よってであり、が従う。 任意にをとる。このとき任意のについて、すなわち定義よりについてが成り立つ。よってであり、が従う。 以上よりが導かれる。下界集合については、逆順序について上の証明を適用することで同様に導かれる。 ◻
有界性
定義 3 (有界・非有界). 前順序集合の部分集合の上界が存在するとき、は上に有界であるという。の下界が存在するとき、は下に有界であるという。上に有界かつ下に有界であるとき、単に有界であるとかを有界集合という。有界でないことを非有界であるという。
最大元・最小元
定義 4 (最大元・最小元). 前順序集合の部分集合について考える。
が成り立つをの最大元(maximum element)といい、で表す。
が成り立つをの最小元(minimum element)といい、で表す。
命題 5. 前順序集合の部分集合に対して、最大元や最小元は存在すればで定まる同値を除いて一意に定まる。
証明. がともに の最大元であると仮定する． であるから，最大元 の定義よりが成り立つ．同様に であるから，最大元 の定義よりが成り立つ．したがってであり，が従う．最小元についても同様にして示される。 ◻
上限・下限
定義 6 (上限・下限). 前順序集合の部分集合について考える。
命題 7. 前順序集合の部分集合に対して、上限や下限は存在すればで定まる同値を除いて一意に定まる。特に、の最大元や最小元が存在するとき、これらがそれぞれの上限や下限となる。
証明. 上限と下限の一意性はそれぞれ最小元と最大元の一意性から従う。 が の最大元であるとする．最大元の定義より、任意の に対して が成り立つので、 は の上界である． を の任意の上界とすると、 であるから，上界の定義より が成り立つ．よって任意の上界 に対して が成り立つので， は の最小上界すなわち上限である．最小元は下限であることも同様にして示される。 ◻
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