順序集合のうち、特定のクラスの部分集合が必ず上界(下界)を持つことによって特徴づけられるものを考える。

有向集合の定義

定義 1 (上有向集合・下有向集合). 前順序集合の非空な有限部分集合全体の族について考える。

  • 任意のに対しその上界が存在するときを上有向集合あるいは単に有向集合という。

  • 任意のに対しその下界が存在するときを下有向集合という。

上の定義はより簡潔な条件と同値である。

命題 2. 前順序集合の部分集合について考える。

  • が上有向集合

  • が下有向集合

証明. が上有向集合であると仮定する。任意にをとるとはの有限部分集合であるから、仮定よりの上界が存在する。すなわちかつである。

次にを仮定し、任意の有限部分集合に対しての上界が存在することを示す。 なら、任意のはを満たすので上界である。 とし、（）と書く。 仮定を用いて帰納的にを次で定める： 、およびに対し かつを満たすを取る。 このとき各について、が成り立つことをについての帰納法で示せる。 よって（）であり、はの上界である。以上よりは上有向集合である。

下有向集合についても同様にして示される。 ◻

定義 3 (有向部分集合). 前順序集合に対し、その部分集合がの順序によって(上/下)有向集合となるとき、を(上/下)有向部分集合という。

イデアル・フィルター

定義 4 (イデアル・フィルター). 前順序集合の部分集合について考える。

  • が上有向部分集合かつ下方集合であるとき、これをイデアルという。

  • が下有向部分集合かつ上方集合であるとき、これをフィルターという。